JUDUL MATERI
Banyak siswa yang fobia dengan geometri karena membayangkan harus menggambar akurat dan menghafal ratusan rumus. Padahal, di level TKA dan Olimpiade, geometri dan transformasi adalah seni manipulasi visual. Kamu tidak butuh penggaris, kamu hanya butuh imajinasi. Transformasi geometri bukan sekadar memindah koordinat, tapi memahami bagaimana matriks bisa melipat, memutar, dan memperbesar dimensi ruang.
ISI MATERI
Nyawa utama dari materi ini bertumpu pada dua pilar: Sifat Kesebangunan Geometri dan Aljabar Matriks Transformasi.
Contoh Kasus 1: Kesebangunan dan Jebakan Luas
Jika sisi-sisi sebuah segitiga diperbesar 3 kali lipat (dilatasi faktor 3), apakah luasnya menjadi 3 kali lipat? SALAH BESAR! Jika dimensi panjang dikali k, maka dimensi luas dikali \(k^2 \). Jadi luasnya akan menjadi \(3^2 = 9 \) kali lipat. Ini adalah jebakan logis yang sangat sering menjatuhkan peserta.
Contoh Kasus 2: Efek Komposisi Matriks (Filter Berantai)
Bayangkan kamu sedang mengedit foto. Kamu memutarnya 90 derajat, lalu mencerminkannya. Di matematika, kedua proses ini digabung dalam satu Matriks Komposisi. Aturan mutlaknya: kerjakan dari KANAN ke KIRI! Jika benda ditransformasi oleh \(T_1 \) lalu dilanjutkan oleh \(T_2 \), maka matriks totalnya adalah \(M = T_2 \times T_1 \). Jangan sampai terbalik!
KUMPULAN RUMUS PENTING
| 1. Translasi (Pergeseran) | \(T = \begin{pmatrix} a \cr b \end{pmatrix} \implies P(x+a, y+b) \) |
| 2. Refleksi (Pencerminan) | Sumbu X: \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} \) Sumbu Y: \(\begin{pmatrix} -1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix} \) Garis y = x: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \end{pmatrix} \) |
| 3. Rotasi (Perputaran) \(\theta \) Pusat (0,0) | \(M = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \cr \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \) |
| 4. Dilatasi (Skala k) Pusat (0,0) | \(M = \begin{pmatrix} k & 0 \cr 0 & k \end{pmatrix} \) |
TIPS & TRIK CARA CEPAT
Jika ditanya luas area hasil transformasi matriks, JANGAN mencari titik-titik sudut bayangannya secara manual! Cukup gunakan rumus sakti: Luas Bayangan = Luas Awal \(\times \vert \det(M) \vert \). Cukup cari nilai mutlak dari determinan matriks transformasinya saja!
Tidak perlu repot memasukkan sudut ke matriks jika sudutnya istimewa.
- Rotasi \(90^\circ \) berlawanan jarum jam: \((x,y) \implies (-y,x) \)
- Rotasi \(90^\circ \) searah jarum jam (-90): \((x,y) \implies (y,-x) \)
- Rotasi \(180^\circ \): \((x,y) \implies (-x,-y) \)
LATIHAN SOAL (5 Soal)
Titik \(P(-3, 5) \) dicerminkan terhadap sumbu Y, lalu ditranslasikan oleh \(T(2, -1) \). Koordinat bayangan akhir titik P adalah...
A. \((1, 4) \)
B. \((-1, 4) \)
C. \((5, 4) \)
D. \((-5, 4) \)
E. \((5, 6) \)
Garis \(2x - y = 5 \) ditranslasikan oleh \(T(1, -2) \). Persamaan bayangan garis tersebut adalah...
A. \(2x - y = 9 \)
B. \(2x - y = 1 \)
C. \(2x + y = 9 \)
D. \(x - 2y = 1 \)
E. \(x + 2y = 9 \)
Sebuah segitiga sembarang ABC memiliki luas 15 satuan persegi. Jika segitiga tersebut ditransformasikan oleh matriks \(M = \begin{pmatrix} 4 & 1 \cr 2 & 3 \end{pmatrix} \), berapakah luas segitiga bayangannya?
A. 30
B. 75
C. 150
D. 180
E. 225
Titik \(A(x,y) \) dirotasikan sebesar \(90^\circ \) berlawanan arah jarum jam dengan pusat \((0,0) \), lalu dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis \(y = x \). Jika koordinat bayangan akhirnya adalah \((4, -2) \), maka koordinat awal titik A adalah...
A. \((4, 2) \)
B. \((2, 4) \)
C. \((-4, -2) \)
D. \((-2, 4) \)
E. \((4, -2) \)
Diberikan segitiga dengan titik sudut \(O(0,0) \), \(P(4,0) \), dan \(Q(0,4) \). Segitiga tersebut diputar sejauh \(\theta \) berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi \(O(0,0) \). Jika diketahui bahwa letak bayangan titik P tepat berada pada garis \(y = \sqrt{3}x \) di kuadran pertama, maka tentukan ordinat (nilai y) dari bayangan titik Q!
A. 1
B. 2
C. \(2\sqrt{3} \)
D. 4
E. \(4\sqrt{3} \)
PEMBAHASAN (1 SOAL TERAKHIR)
Kita akan membedah Soal 5 secara tuntas. Ini adalah tipe soal Olimpiade yang menguji kemampuanmu mengkoneksikan dua konsep: Rotasi Matriks dan Persamaan Garis Lurus (Gradien).
Fokus pada titik \(P(4,0) \). Jika titik di sumbu X diputar sebesar \(\theta \), posisinya akan menjadi \((r\cos\theta, r\sin\theta) \). Karena panjang OP adalah 4, maka bayangannya adalah \(P'(4\cos\theta, 4\sin\theta) \).
Soal menyatakan bayangan ini terletak pada garis \(y = \sqrt{3}x \). Substitusikan koordinat \(P' \) ke dalam persamaan garis tersebut:
\(4\sin\theta = \sqrt{3}(4\cos\theta) \)
Bagi kedua ruas dengan \(4\cos\theta \):
\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sqrt{3} \implies \tan\theta = \sqrt{3} \).
Karena berada di kuadran pertama, maka sudut putarnya adalah \(\theta = 60^\circ \). Cukup logis!
Titik asal Q adalah \((0,4) \). Kita harus memutarnya \(60^\circ \) berlawanan arah jarum jam. Daripada menghafal rumus, gunakan matriks rotasi standar:
\(Q' = \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \cr \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \end{pmatrix} \)
Ingat nilai trigonometrinya:
\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) dan \(\sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} \).
Kalikan baris kedua (sumbu y / ordinat) dengan kolom titik Q:
\(y' = (\sin 60^\circ \times 0) + (\cos 60^\circ \times 4) \)
\(y' = 0 + (\frac{1}{2} \times 4) = 2 \).
Hasil ordinat bayangan titik Q adalah 2. Sangat elegan dan tidak perlu corat-coret yang panjang. (Jika ditanya absisnya, nilainya adalah \(-2\sqrt{3} \)).
Jawaban yang benar adalah B. 2.