JUDUL MATERI
Banyak siswa yang melihat vektor sekadar sebagai panah dengan panjang tertentu. Padahal, vektor adalah GPS matematika. Di level TKA dan Olimpiade, pembuat soal tidak hanya menguji kemampuanmu menghitung koordinat, tapi sejauh mana kamu bisa melihat "bayangan" atau "interaksi" antar panah tersebut di ruang hampa.
ISI MATERI
Nyawa dari vektor bertumpu pada dua hal: Perkalian Titik (Dot Product) dan Proyeksi. Bayangkan dua vektor sebagai dua orang yang mendorong sebuah meja besar. Dot product mengukur seberapa kompak mereka. Jika mereka saling tegak lurus, kekompakannya nol (\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)).
Contoh Kasus 1: Radar Tegak Lurus
Jika \(\vec{p} = (2, x, -3) \) dan \(\vec{q} = (1, 2, 4) \) saling tegak lurus, berapa nilai x?
Jangan panik melihat variabel 3D. Langsung tembak dengan Dot Product = 0.
\((2)(1) + (x)(2) + (-3)(4) = 0 \)
\(2 + 2x - 12 = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \). Simpel dan sangat logis.
Contoh Kasus 2: Bayangan Vektor (Proyeksi)
Proyeksi skalar ibarat kamu menyorotkan senter tegak lurus dari atas vektor \(\vec{a} \) ke vektor \(\vec{b} \). Panjang bayangan \(\vec{a} \) yang jatuh di tanah \(\vec{b} \) itulah yang disebut proyeksi skalar. Kalau ditanya vektornya (bayangan yang punya arah), tinggal kalikan panjang bayangan tadi dengan "DNA" arah dari tanahnya (vektor satuan \(\hat{b} \)).
KUMPULAN RUMUS PENTING
| 1. Panjang & Vektor Satuan | Panjang: \(\vert \vec{a} \vert = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \) Vektor Satuan: \(\hat{a} = \frac{\vec{a}}{\vert \vec{a} \vert} \) |
| 2. Dot Product | \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vert \vec{a} \vert \vert \vec{b} \vert \cos \theta = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \) |
| 3. Proyeksi Ortogonal | Skalar (Panjang): \(\vert \vec{p} \vert = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert \vec{b} \vert} \) Vektor: \(\vec{p} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert \vec{b} \vert^2} \right) \vec{b} \) |
| 4. Pembagian Ruas Garis | Titik P membagi AB rasio m:n \(\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} \) |
TIPS & TRIK CARA CEPAT
Kapanpun kamu melihat kata "Tegak Lurus" atau "Ortogonal" di soal vektor, refleks pertama tanganmu HARUS menuliskan rumus: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \). Ini adalah kunci pembuka 90% soal vektor HOTS.
Jika kamu disuruh mencari panjang resultan \(\vert \vec{a} + \vec{b} \vert \), JANGAN mencoba mencari koordinatnya jika tidak diketahui. Kuadratkan saja langsung! Berlaku aturan aljabar biasa dengan sisipan cosinus:
\(\vert \vec{a} \pm \vec{b} \vert^2 = \vert \vec{a} \vert^2 + \vert \vec{b} \vert^2 \pm 2\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert\cos\theta \).
LATIHAN SOAL (5 Soal)
Diketahui vektor \(\vec{u} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) dan \(\vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k} \). Nilai dari \(\vec{u} \cdot \vec{v} \) adalah...
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10
Jika vektor \(\vec{a} = (1, 2, -3) \) tegak lurus dengan vektor \(\vec{b} = (4, x, 2) \), maka nilai x yang memenuhi adalah...
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Diketahui vektor \(\vec{p} = (2, -1, 2) \) dan \(\vec{q} = (4, 10, -8) \). Panjang proyeksi ortogonal vektor \(\vec{p} \) pada \(\vec{q} \) adalah...
A. \(\frac{1}{5}\sqrt{5} \)
B. \(\frac{2}{5}\sqrt{5} \)
C. \(\frac{3}{5}\sqrt{5} \)
D. \(\frac{4}{5}\sqrt{5} \)
E. \(\sqrt{5} \)
Jika \(\vert \vec{a} \vert = 2 \), \(\vert \vec{b} \vert = 3 \), dan sudut antara kedua vektor tersebut adalah 60 derajat. Maka nilai dari \(\vert \vec{a} + 2\vec{b} \vert \) adalah...
A. \(2\sqrt{7} \)
B. \(2\sqrt{13} \)
C. \(4\sqrt{3} \)
D. \(6\sqrt{2} \)
E. 8
Diketahui vektor \(\vec{u} \) dan \(\vec{v} \) adalah vektor satuan. Jika sudut antara \(\vec{u} \) dan \(\vec{v} \) adalah \(\theta \). Tentukan nilai maksimum dari \(\vert \vec{u} + \vec{v} \vert + \vert \vec{u} - \vec{v} \vert \)!
A. \(\sqrt{2} \)
B. 2
C. \(2\sqrt{2} \)
D. 4
E. \(4\sqrt{2} \)
PEMBAHASAN (1 SOAL TERAKHIR)
Kita akan membedah Soal 5 secara tuntas. Ini adalah bentuk soal klasik OSK yang menggabungkan konsep aljabar vektor dengan optimasi trigonometri. Jika kamu mencoba menggambar atau menebak angka, kamu akan kesulitan mencari nilai maksimum pastinya.
Karena mencari panjang resultan secara langsung sulit, kita kuadratkan bentuknya menggunakan rumus vektor satuan (di mana panjangnya = 1).
\(\vert \vec{u} + \vec{v} \vert^2 = \vert \vec{u} \vert^2 + \vert \vec{v} \vert^2 + 2\vert \vec{u} \vert\vert \vec{v} \vert\cos\theta \)
\(\vert \vec{u} + \vec{v} \vert^2 = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos\theta = 2 + 2\cos\theta \)
Ingat rumus: \(1 + \cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Maka, \(\vert \vec{u} + \vec{v} \vert^2 = 2(1 + \cos\theta) = 4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Akar dari bentuk di atas memberikan kita nilai pasti: \(\vert \vec{u} + \vec{v} \vert = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Untuk \(\vert \vec{u} - \vec{v} \vert \), bedanya hanya pada tanda minus.
\(\vert \vec{u} - \vec{v} \vert^2 = 2 - 2\cos\theta \).
Ingat rumus: \(1 - \cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Maka, \(\vert \vec{u} - \vec{v} \vert^2 = 4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Akarnya adalah: \(\vert \vec{u} - \vec{v} \vert = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Jumlahkan kedua hasil yang sudah kita temukan:
Fungsi \(F(\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \).
Di matematika, bentuk umum \(A\cos x + B\sin x \) akan selalu memiliki nilai maksimum sebesar \(\sqrt{A^2 + B^2} \).
Maka nilai maksimalnya adalah \(\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
Sangat elegan, logis, tanpa menghitung angka kasar sedikitpun. Jawaban yang benar adalah C. 2\sqrt{2}.